CARPINTERI - Scienza delle Costruzioni 2

• INDICE GENERALE

Nel presente Volume 2 è raccolta la seconda parte degli argomenti delle lezioni di «Scienza delle Costruzioni» da me tenute agli Allievi Ingegneri del Politecnico di Torino a partire dall'Anno Accademico 1986-1987. Riprendendo gli argomenti e la formulazione del Volume 1, viene illustrato il Metodo degli Elementi Finiti come metodo di discretizzazione e di interpolazione per la soluzione approssimata dei problemi elastici. Esso viene introdotto nel Capitolo 11 in maniera del tutto generale, senza specificare l'elemento strutturale a cui viene ap­ plicato, sia esso mono-, bi- o tridimensionale, e, nei primi due casi, con o senza una curvatura intrinseca. Vengono peraltro messe in luce le due dimensioni che lo caratterizzano: la dimensione del vettore spostamento e la dimensione comune ai due vettori delle caratteristiche statiche e deformative. Applicando il Principio di Minimo dell'Energia Potenziale Totale ed il metodo di approssimazione numerica di Ritz-Galerkin, si dà del metodo la definizione analitica e variazionale. Applicando inoltre il Principio dei Lavori Virtuali, si dà del metodo anche la definizione alternativa più nota nel campo ingegneristico: quella meccanica e matriciale. Tramite la definizione delle funzioni di forma, si perviene alla nozione di matrice di rigidezza locale del singolo elemento. Tale matrice viene perciò espansa ed assemblata, cioè sommata, con tutte le altre analoghe matrici per fornire, infine, la matrice di rigidezza globale. Si chiude il capitolo con un cenno sulla dinamica dei solidi elastici. Nel Capitolo 12 viene trattata la simmetria strutturale, sottolineando come essa, sia per i sistemi di travi che per i solidi elastici di ogni tipo, possa implicare una riduzione del grado effettivo di iperstaticità. In particolare, vengono considerati i sistemi di travi con simmetria o antisimmetria, assiale o polare, le lastre di rivoluzione, le membrane e le volte sottili di rivoluzione, le lastre circolari, le lastre cilindriche, i contenitori in pressione cilindrici con fondi, nonché i solidi tridimensionali di rivoluzione. Nel Capitolo 13 si affronta il problema dei sistemi iperstatici di travi, proponendone la risoluzione tramite il metodo delle forze (o della congruenza). Tale metodo risulta conveniente soltanto nel caso di sistemi con un basso grado di iperstaticità. Partendo dal concetto di iperstaticità assiale, si passa quindi a considerare alcuni schemi elementari. Si considerano inoltre i cedimenti vincolari, elastici ed anelastici (questi ultimi detti anche spostamenti imposti), nonché le distorsioni termiche. Chiudono il capitolo alcuni esempi sulle travi continue. Nel Capitolo 14, dedicato ai sistemi di travi con un alto grado di iperstaticità, si definisce il metodo degli spostamenti (o dell'equilibrio). Si considerano dapprima i casi elementari dei sistemi di bielle e di travi in parallelo, con i relativi coefficienti di ripartizione. Si introduce quindi la procedura che permette di calcolare in modo automatico, con una macchina elettronica, i più svariati sistemi di travi: le travature reticolari, i telai piani (a nodi fissi o shear-type), i grigliati piani, i telai spaziali. Il capitolo si chiude con un cenno sulla dinamica dei sistemi di travi. Nel Capitolo 15 si riprende e si approfondisce il problema dei telai piani. Si presentano numerosi esempi di telai a nodi fissi o a nodi spostabili, riportando in tutti i casi i diagrammi delle reazioni interne (sforzo normale, sforzo di taglio, momento flettente), nonché la configurazione deformata del telaio, con gli eventuali flessi e spostamenti dei nodi. Si considerano anche casi specifici riguardanti carichi termici, spostamenti imposti, telai a maglie non ortogonali e telai caricati fuori dal proprio piano. Nel Capitolo 16 si mostra come i sistemi iperstatici di travi possano venire risolti tramite l'applicazione del Principio dei Lavori Virtuali. Dopo avere evidenziato come tale metodo rossa fornire anche gli spostamenti clastici nei sistemi isostatici, si propone la risoluzione alternativa di gran parte degli esempi considerati nei precedenti tre capi­ toli. Vengono ottenute le formule risolventi nel caso dei sistemi, rispettivamente, una volta o due volte iperstatici, ed estrapolate al caso di molteplice iperstaticità. Vengono considerati casi specifici riguardanti distorsioni termiche, cedimenti vincolari, travature reticolari iperstatiche, archi ed anelli. Si dimostra infine il Teorema di Castigliano e la sua perfetta equivalenza, sul piano operativo, con la sopraddetta applicazione del Principio dei Lavori Virtuali. I capitoli conclusivi del Volume si occupano dei fenomeni fondamentali di crisi strutturale: l'instabilità dell'equilibrio elastico, il collasso plastico e la frattura fragile. Il Capitolo 17 tratta il fenomeno dell'instabilità che si origina a causa del carattere effettivamente non-lineare dei vincoli strutturali (la cosiddetta non-linearità geometrica). Vengono introdotti i concetti fondamentali considerando dapprima i sistemi elastici discreti, ad uno o più gradi di libertà, e quindi le travi rettilinee ad elasticità diffusa. Vengono inoltre considerati i sistemi di travi rettilinee, con la relativa matrice di rigidezza geometrica, le travi ad asse curvilineo (archi ed anelli), le travi alte e snelle con la instabilità flesso-torsionale, le lastre soggette a compressione, nonché gli archi ribassati con il fenomeno dello snap-through. Nel Capitolo 18 è trattata la teoria della plasticità. Il collasso plastico è segnato dal raggiungimento della labilità, parziale o globale, della struttura, in seguito allo snerva­ mento di un numero sufficiente di sezioni (telai e lastre), ovvero di una zona sufficientemente estesa (corpi tridimensionali). Dopo avere introdotto il problema della flessione elasto-plastica, viene trattata l'analisi incrementale dei sistemi di travi. Vengono perciò ripresi e analizzati in regime plastico numerosi esempi proposti nei capitoli precedenti. Vengono quindi dimostrati i teoremi fondamentali dell'analisi limite plastica e riportati vari esempi di calcolo relativi ai telai. Più specificatamente si esaminano i sistemi di travi caricate proporzionalmente, da forze concentrate o distribuite, e i sistemi di travi caricate non proporzionalmente. Si chiude il capitolo con un cenno al comportamento plastico delle strutture caricate ciclicamente (adattamento plastico e plasticizzazione alternata) e al collasso plastico delle lastre circolari inflesse. Nel Capitolo 19 vengono affrontati e risolti numerosi problemi, piani nello stato tensionale o deformativo: la trave-parete, il tubo cilindrico di grosso spessore, il foro circolare in una lastra tesa, la forza concentrata agente su di un semipiano elastico, il foro ellittico in una lastra tesa. Si richiama inoltre la nozione classica di «concentrazione degli sforzi», in relazione ai casi di fori, circolari ed ellittici, presenti in lastre sottoposte a trazione. Nel Capitolo 20, infine, si ripropone l'ormai storico criterio energetico di Griffith, che descrive l'instabilità di una fessura rettilinea, dopo di che vengono trattati i metodi analitici che determinano la potenza della singolarità del campo tensionale nell'intorno dell'estremità di una fessura, o, più in generale, nell'intorno del vertice di un angolo rientrante. Definita quindi la nozione innovatrice di «intensificazione degli sforzi», si pongono in diretta correlazione tale trattazione tensionale con quella energetica, tramite la dimostrazione dovuta ad Irwin. Nella seconda parte del Capitolo vengono discussi i tre modi elementari di sollecitazione delle fessure (apertura, taglio, strappo), i fenomeni non lineari, di plasticizzazione e danneggiamento, che sempre si riscontrano all'estremità delle fessure reali, nonché gli effetti dimensionali, e la connessa transizione duttile-fragile, che si verificano a causa di tali fenomeni. Della frattura fragile si dà una interpretazione originale fondata sul fenomeno dello snap-back. Mentre nei Capitoli 11 e 12 si riscontra la continuità con i Capitoli 7, 8, 9 e 10, del Volume 1, basata sulla comune formulazione operatoriale del problema elastico, i Capitoli 13, 14, 15 e 16 rappresentano il completamento della teoria dei sistemi di travi, introdotta nel Volume 1 ai Capitoli 3, 4, 5 e 6. Inoltre, i Capitoli 17, 18 e 20 trattano i meccanismi elementari di collasso strutturale, accennando pure alle loro mutue interazioni, così come il Capitolo 19 tratta i problemi piani delle lastre sottili e dei solidi cilindrici o prismatici di grosso spessore, e costituisce una premessa indispensabile alla Meccanica della Frattura Elastica Lineare (Capitolo 20).